Προθερμάνετε τον φούρνο στους 180 °C. Σε μια μέτρια κατσαρόλα με βραστό νερό προσθέστε τις φακές και τη φάβα και μαγειρέψτε για περίπου 15 λεπτά, μέχρι να ψηθούν καλά. Στραγγίξτε και αφήστε να κρυώσουν. Σε ένα μπλέντερ προσθέστε το κρεμμύδι, το κύμινο και τη σκόνη λαχανικών και αλέστε μέχρι να λιώσει το κρεμμύδι. Προσθέστε τις φακές και φάβα, τα φασόλια, τη φρυγανιά, το αυγό και τον κόλιανδρο και αλέστε ξανά μέχρι να αναμιχθούν όλα τα υλικά. Προσθέστε τα μπιζέλια και το καρότο και ανακατέψτε απαλά. Μεταφέρετε το μίγμα σε μια φόρμα κέικ στρωμένη με χαρτί ψησίματος και ψήστε στον φούρνο για περίπου 50 λεπτά. Αφήστε το κέϊκ να κρυώσει προτού το κόψετε.