1. Στο μίξερ χτυπάμε το βούτυρο με τη ζάχαρη μέχρι να αφρατέψουν, περίπου 10 λεπτά. Προσθέστε τους κρόκους των αυγών έναν έναν και χτυπήστε καλά μέχρι να ενσωματωθούν, περίπου 3 λεπτά. Προσθέστε το ρούμι και ανακατέψτε μαζί.

2. Σε ένα ξεχωριστό μπολ, χτυπήστε τα ασπράδια μέχρι να σχηματιστούν μαλακές κορυφές.

3. Προσθέστε την καρύδα και τη βανίλια στο μείγμα του βουτύρου και ανακατέψτε μαζί με τα χέρια σας. Στη συνέχεια προσθέτετε εναλλάξ το αλεύρι και τα ασπράδια αυγών στο μείγμα βουτύρου και ανακατεύετε με τα χέρια σας μέχρι να σχηματιστεί μια απαλή ζύμη. Μπορεί να μην χρειαστεί όλο το αλεύρι. Η ζύμη είναι έτοιμη όταν δεν κολλάει στα χέρια όταν την τυλίγουμε.

4. Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 175C.

5. Τυλίξτε τη ζύμη σε μακριούς κυλίνδρους και πλάθετε σε μικρά πλεκτά μπισκότα, μήκους περίπου 10 εκ. και πλάτους 2 εκ. Τοποθετούμε τα μπισκότα σε λαδόκολλα σε ένα ταψί. Αλείφουμε με αυγό πριν το βάλουμε στο φούρνο.

6. Ψήνετε τα μπισκότα για περίπου 25-28 λεπτά, μέχρι να ροδίσουν.